Trực tâm là gì? Tính chất và cách xác định trực tâm của tam giác từ A – Z

Trong bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ chia sẻ lý thuyết trực tâm là gì? Tính chất trực tâm và cách xác định đường trực tâm trong tam giác kèm theo bài tập có lời giải để các bạn cùng tham khảo

Trực tâm là gì?

Trực tâm là giao điểm của 3 đường cao trong một tam giác.

Ví dụ: Tam giác ABC có ba đường cao là AM, BN, CP. Gọi H là giao điểm của ba đường cao trên thì H là trực tâm của tam giác ABC.

truc-tam-la-gi

Tính chất trực tâm trong tam giác

  • Trong một tam giác cân thì đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.
  • Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
  • Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.
  • Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.
  • Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba cạnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.

Cách xác định trực tâm của tam giác

Đối với mỗi loại tam giác sẽ có vị trí và cách xác định trực tâm khác nhau

1. Trực tâm tam giác nhọn

Đối với tam giác nhọn trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó.

Ví dụ: Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác.

truc-tam-la-gi-1

2. Trực tâm tam giác vuông

Đối với tam giác vuông trực tâm chính là đỉnh góc vuông.

Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.

truc-tam-la-gi-2

3. Trực tâm tam giác tù

Đối với tam giác tù trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó.

Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác.

truc-tam-la-gi-3

Tham khảo thêm:

Bài tập về đường trực tâm thường gặp

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ta trực tâm của tam giác đó.

truc-tam-la-gi-4

Lời giải:

Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

ΔHBC có :

AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.

BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC

CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.

Mặc khác AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.

Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng 9 điểm gồm chân ba đường cao; trung điểm ba cạnh và trung điểm các đoạn HA, HB, HC cùng nằm trên một đường tròn.

truc-tam-la-gi-5.PNG

Lời giải:

Gọi:

I, L, K lần lượt là chân ba đường cao hạ từ 3 đỉnh A, B và C. H là giao điểm ba đường cao.

D, E, F lần lượt là trung điểm của 3 cạnh AB, BC và AC.

G, I, J lần lượt là trung điểm của 3 đoạn AH, BH và CH.

Ta có:

DF là đường trung bình Δ ABC => DF//BC và DF = ½ BC. (1)

IJ là đường trung bình ΔHBC => IJ//BC và IJ = ½ BC. (2)

Từ (1) và (2) => DFJI là hình bình hành. (3)

Ta có: DI là đường trung bình ΔAHB => DI//AH nên DI//AI.

Mặc khác: AI ┴ BC và IJ//BC.

=> DI vuông góc với IJ. (4)

Từ (3) và (4) ta có DFJI là hình chữ nhật. Tâm đường tròn ngoại tiếp DFJI là O, O là trung điểm DJ. (a)

Tương tự chứng minh GDEJ là hình chữ nhật ngoại tiếp đường tròn tâm O, O là trung điểm DJ. (b)

– GIE vuông tại I, suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp ΔGIE là O trung điểm GE. Tương tự O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔJLD và ΔIKF. (c)

Từ (a), (b) và (c) kết luận 9 điểm là chân đường cao, trung điểm các cạnh của Δ ABC và trung điểm 3 đoạn HA, HB, HC cùng nằm trên một đường tròn tâm O. (dpcm)

Ví dụ 3: Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

Lời giải:

Xét ΔABC vuông tại A

truc-tam-la-gi-6

AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB

hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Mà AB cắt AC tại A

⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.

Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông

Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.

truc-tam-la-gi-7

truc-tam-la-gi-8

Vậy E nằm ngoài A và B

⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC.

+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.

+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.

Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

Ví dụ 4: Cho hình vẽ

a) Chứng minh NS ⊥ LM

b) Khi góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.

truc-tam-la-gi-9

Lời giải:

a) Trong ΔMNL có:

LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.

MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.

Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S

Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.

⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.

hay SN ⊥ ML.

b) Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :

ΔNMQ vuông tại Q có:

truc-tam-la-gi-10

Hy vọng với những kiến thức mà chúng tôi vừa chia sẻ giúp bạn nắm được trực tâm là gì? Tính chất và cách xác định đường trực tâm trong tam giác để chứng minh bài tập nhé