Tính chất tia phân giác của một góc và bài tập có lời giải từ A – Z

Trong bài viết dưới đây, Samsung Contest sẽ chia sẻ lý thuyết tính chất tia phân giác của một góc và cách chứng minh tia phân giác của một góc chi tiết để các bạn cùng tham khảo nhé

Tia phân giác của một góc là gì?

Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh đấy hai góc bằng nhau.

Ví dụ: Tia Oz là tia phân giác của góc xOy. Khi đó:

tinh-chat-tia-phan-giac-cua-mot-goc-1

tinh-chat-tia-phan-giac-cua-mot-goc

Lưu ý: Đường thẳng chứa tia phân giác được gọi là đường phân giác

Định lý và tính chất tia phân giác của một góc

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

tinh-chat-tia-phan-giac-cua-mot-goc-2

Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc đó thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

tinh-chat-tia-phan-giac-cua-mot-goc-3

Nhận xét: Từ hai định lý thuận và đảo ta có: Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc đó.

Tham khảo thêm:

Cách chứng minh tia phân giác của một góc

Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong một tam giác ba phân giác của hai ngóc ngoài và một góc trong không kề với chúng gặp nhau tại một điểm

tinh-chat-tia-phan-giac-cua-mot-goc-4

Lời giải:

Gọi K là giao điểm của hai đường phân giác góc ngoài của góc B và góc C

Từ K hạ KD ⊥ BC, KE ⊥ AB, KF ⊥ AC

Theo tính chất về đường phân giác ta có:

tinh-chat-tia-phan-giac-cua-mot-goc-5

⇒ K nằm trên đường phân giác của góc BAC

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Từ B kẻ BH vuông góc với AC tại H và từ C kẻ CK vuông góc với AB tại K, hai đường thẳng BH và CK cắt nhau tại I. Chứng minh AI là đường phân giác của tam giác ABC.

tinh-chat-tia-phan-giac-cua-mot-goc-6

Lời giải:

tinh-chat-tia-phan-giac-cua-mot-goc-7

Từ (1) và (2) suy ra: C2∧ = B2 (3)

Do đó ΔIBC cân tại I nên IB = IC (4)

Từ (3), (4) ta có:

ΔIHC = ΔIKB (cạnh huyền – góc nhọn)

IH = IK

Vậy AI là đường phân giác của góc BAC

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài B1 và C1 (h.32) nằm trên tia phân giác của góc A.

tinh-chat-tia-phan-giac-cua-mot-goc-8

Lời giải

tinh-chat-tia-phan-giac-cua-mot-goc-9

Gọi M là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài B và C của ∆ABC.

Kẻ MH ⊥ AB; MI ⊥ BC; MK ⊥ AC (như hình vẽ)

Theo định lí thuận về tính chất tia phân giác của một góc: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Ta có: MH = MI (Vì M thuộc phân giác của góc B ngoài )

MI = MK ( Vì M thuộc phân giác của góc C ngoài )

Suy ra: MH = MK (cùng bằng MI)

Dựa vào định lí đảo về tính chất các điểm thuộc tia phân giác: Điểm nằm bên trong góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

⇒ M thuộc phân giác của góc BAC (đpcm).

Ví dụ 4: Cho hai đường thẳng xx’, yy’ cắt nhau tại O.

a) Chứng minh hai tia phân giác Ot, Ot’ của một cặp góc kề bù tạo thành một góc vuông.

b) Chứng minh rằng: Nếu M thuộc đường thẳng Ot hoặc thuộc đường thẳng Ot’ thì M cách đều hai đường thẳng xx’ và yy’.

c) Chứng minh rằng: Nếu điểm M cách đều hai đường thẳng xx’, yy’ thì M thuộc đường thẳng Ot hoặc thuộc đường thẳng Ot’.

d) Khi M ≡ O thì khoảng cách từ M đến xx’ và yy’ bằng bao nhiêu?

e) Em có nhận xét gì về tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx’, yy’.

tinh-chat-tia-phan-giac-cua-mot-goc-10

tinh-chat-tia-phan-giac-cua-mot-goc-11

b) TH1: M ∈ Ot

tinh-chat-tia-phan-giac-cua-mot-goc-12

M ∈ Ot do Ot là phân giác của  nên M cách đều hai tia Ox và Oy

⇒ M cách đều xx’, yy’.

Tương tự cho M thuộc tia đối của tia Ot.

TH2: M ∈ Ot ‘

M ∈ Ot’ do Ot’ là phân giác của Giải bài 33 trang 70 SGK Toán 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7 nên M cách đều hai tia Ox, Oy’

⇒ M cách đều xx’, yy’.

Tương tự cho M thuộc tia đối của tia Ot’.

Vậy với mọi M thuộc đường thẳng Ot hoặc đường thẳng Ot’, M cách đều xx’ và yy’.

c) Ta có M luôn thuộc miền trong của một trong bốn góc:

Mà M cách đều xx’ và yy’ nên theo định lý 2 ta có:

  • Nếu M thuộc miền trong góc xOy ⇒ M thuộc tia Ot.
  • Nếu M thuộc miền trong góc xOy’ ⇒ M thuộc tia Ot’.
  • Nếu M thuộc miền trong góc y’Ox’ ⇒ M thuộc tia đối của tia Ot.
  • Nếu M thuộc miền trong góc x’Oy ⇒ M thuộc tia đối của tia Ot’ .

d) Khi M ≡ O thì khoảng cách từ M đến xx’, yy’ bằng 0.

e) Từ các câu trên ta có nhận xét: tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau xx’, yy’ thuộc hai đường thẳng vuông góc nhau lần lượt là phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau đó.

Hy vọng với những kiến thức mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp các bạn nắm được tính chất tia phân giác của một góc áp dụng vào bài tập nhé