Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng và bài tập từ A – Z

Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng được sử dụng rất nhiều trong các bài toán chứng minh ở đề thi đại học hiện nay. Chính vì vậy, trong bài viết dưới đây Samsung Contest sẽ chia sẻ định nghĩa, tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng và bài tập có lời giải để các bạn cùng tham khảo

Đường trung trực của đoạn thẳng là gì?

Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

tinh-chat-duong-trung-truc-cua-mot-doan-thang

Định lý, tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

  • Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó
  • Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó

Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Tham khảo thêm:

Bài tập chứng minh tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Ví dụ 1: Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác gì?

Lời giải:

Giả sử ΔABC có AM là trung tuyến đồng thời là đường trung trực. Ta sẽ chứng minh ΔABC là tam giác cân. Thật vậy, vì AM là trung tuyến của ΔABC (gt) ⇒ BM = MC (tính chất trung tuyến)

Vì AM là trung trực của BC ⇒ AM ⊥ BC

Xét hai tam giác vuông ΔABM và ΔACM có:

BM = CM (cmt)

AM chung

Do đó ΔABM = ΔACM (2 cạnh góc vuông)

⇒ AB = AC (2 cạnh tương ứng) ⇒ ΔABC cân tại A

Ví dụ 2: Cho ΔABC cân tại A , có ∠A = 40°, đường trung trực của AB cắt BC tại D . Tính ∠CAD

tinh-chat-duong-trung-truc-cua-mot-doan-thang-1

Lời giải:

tinh-chat-duong-trung-truc-cua-mot-doan-thang-2

Vì D thuộc đường trung trực của AB nên

⇒ AD = BD ( tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

⇒ Δ ABD cân tại D ( dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

tinh-chat-duong-trung-truc-cua-mot-doan-thang-3

Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB thuộc nửa mặt phẳng bờ d. Xác định điểm M thuộc d sao cho M cách đều hai điểm A, B.

tinh-chat-duong-trung-truc-cua-mot-doan-thang-4

Vẽ trung trực xy của đoạn thẳng AB

Giả sử xy cắt d tại điểm M, ta có: MA = MB

Nếu AB ⊥ d thì xy // d, ta không xác định được điểm M

Ngoài trường hợp AB ⊥ d , ta luôn xác định được điểm M và M là duy nhất.

Ví dụ 4: Cho ΔABC cân tại A. Đường trung trực của AC cắt AB ở D. Biết CD là tia phân giác của ∠ACB. Tính các góc của ΔABC

tinh-chat-duong-trung-truc-cua-mot-doan-thang-5

Lời giải

Vì đường trung trực của AC cắt AB ở D nên suy ra DA = DC (Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

⇒ ΔDAC là tam giác cân tại D (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

tinh-chat-duong-trung-truc-cua-mot-doan-thang-6

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có AC > AB, phân giác AD. Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh rằng AD vuông góc với BE.

tinh-chat-duong-trung-truc-cua-mot-doan-thang-7

Nối BE và ED

Xét ΔADB và ΔADE có:

AD cạnh chung

∠BAD = ∠EAD (AD là tia phân giác góc BAC)

AB = AE (gt)

Do đó: ∠ADB = ∠ADE (c-g-c)

Suy ra DB = DE ⇒ D thuộc đường trung trực của đoạn BE

Lại có AB = AE (gt) ⇒ A thuộc đường trung trực của đoạn BE

Do đó AD là đường trung trực của BE

Hay AD vuông góc với BE

Hy vọng với những thông tin mà Samsung Contest vừa chia sẻ có thể giúp bạn bạn nắm được định nghĩa và tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng để áp dụng vào chứng minh bài tập đơn giản nhé