Tính chất ba đường trung trực của tam giác và bài tập có lời giải chuẩn 100%

Trong bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ chia sẻ lý thuyết về đường trung trực của tam giác là gì? Tính chất ba đường trung trực của tam giác và các dạng bài tập thường gặp trong quá trình học tập giúp các bạn hệ thống lại kiến thức để áp dụng vào làm bài tập

Đường trung trực của tam giác là gì?

Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh là đường trung trực của tam giác đó. Mỗi tam giác có ba đường trung trực

Ví dụ: Tam giác ABC có ba đường trung trực a, b, c. Trong đó: a là đường trung trực cạnh BC, b là đường trung trực của cạnh AC, c là đường trung trực của cạnh AB

tinh-chat-ba-duong-trung-truc-cua-tam-giac

Tính chất: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này.

tinh-chat-ba-duong-trung-truc-cua-tam-giac-1

Ta có: tam giác ABC cân tại A có đường trung trực của đoạn thẳng BC là AM, khi đó AM cũng là trung tuyến ứng với cạnh BC của tam giác ABC.

Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Điểm O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC, ta có OA = OB = OC

Lưu ý: Vì giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C. Ta gọi đường tròn đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

tinh-chat-ba-duong-trung-truc-cua-tam-giac-2

Tham khảo thêm:

Bài tập ứng dụng tính chất ba đường trung trực của tam giác

Ví dụ 1: Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thì tam giác đó là một tam giác cân.

tinh-chat-ba-duong-trung-truc-cua-tam-giac-1

Lời giải:

Xét tam giác ABC với AH là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực nên AH ⊥ BC và HB = HC

Xét hai tam giác vuông HAB và HAC, có:

HB = HC

AH: cạnh chung

Nên ∆HAB = ∆HAC (hai cạnh góc vuông)

⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Vậy ∆ABC cân tại A.

Ví dụ 2: Cho ΔABC, hai đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Em hãy chọn câu sai:

A. BM = MC

B. ME = MD

C. DM = MB

D. M không thuộc đường trung trực của DE

Lời giải

Vì M là trung điểm của BC (gt) suy ra BM = MC (tính chất trung điểm), loại đáp án A.

Xét ΔBCE có M là trung điểm của BC (gt) suy ra EM là trung tuyến

⇒ EM = BC/2 (1) (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cới cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

Xét ΔBCD có M là trung điểm của BC (gt) suy ra DM là trung tuyến

⇒ DM = MB = BC/2 (2) (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy) nên loại đáp án C

Từ (1) và (2) ⇒ EM = DM ⇒ M thuộc đường trung trực của DE. Loại đáp án B, chọn đáp án D

Chọn đáp án D

Ví dụ 3: Ba gia đình quyết định đào chung một cái giếng (h.50). Phải chọn vị trí của giếng ở đâu để các khoảng cách từ giếng đến các nhà bằng nhau?

tinh-chat-ba-duong-trung-truc-cua-tam-giac-3

Lời giải:

Gọi vị trí ba ngôi nhà lần lượt là A, B, C, vị trí giếng cần đào là O.

tinh-chat-ba-duong-trung-truc-cua-tam-giac-4

Vì điểm O cách đều ba điểm A, B, C nên O là giao của ba đường trung trực của AB, BC, CA (hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

Tuy nhiên để xác định O ta chỉ cần xác định hai trong ba đường trung trực rồi cho chúng cắt nhau vì ba đường trung trực đều đồng quy tại một điểm.

Ví dụ 4: Cho hình 51: Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng.

tinh-chat-ba-duong-trung-truc-cua-tam-giac-5

Từ hình vẽ ta có:

+ DK là đường trung trực của AC ⇒ DA = DC.

+ DI là đường trung trực của AB ⇒ DA = DB.

+ Ta có : DI // AC (vì cùng ⏊ AB)

Mà DK ⏊ AC ⇒ DK ⏊ DI ⇒ góc IDK = 900

+ Xét ∆ADK và ∆CDK có:

AD = DC

AK = CK (gt)

DK chung

⇒ ∆ADK = ∆CDK (c.c.c)

ADK = CDK ( hai góc tương ứng)

ADC = ADK + KDC = 2.ADK (1)

+ Xét ∆ADI và ∆BDI có :

AD = BD

AI = BI (gt)

DI chung

⇒ ∆ADI = ∆BDI (c.c.c)

tinh-chat-ba-duong-trung-truc-cua-tam-giac-6

Ví dụ 5: Cho ΔABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = AH. Kẻ KD ⊥ AC (D ∈ BC) . Chọn câu đúng

A. ΔAHD = ΔAKD

B. AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK

C. AD là tia phân giác của góc HAK

D. Cả A, B, C đều đúng

tinh-chat-ba-duong-trung-truc-cua-tam-giac-7

Xét tam giác vuông AHD và tam giác vuông AKD có:

+ AH = AK (gt)

+ AD chung

Suy ra ΔAHD = ΔAKD (ch-cgv) nên A đúng

Từ đó ta có HD = DK; ∠HAD = ∠DAK suy ra AD là tia phân giác của góc HAK nên C đúng

Ta có AH = AK (gt) và HA = DK (cmt) suy ra AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK nên B đúng

Vậy A, B, C đều đúng ⇒ Chọn đáp án D

Hy vọng với những kiến thức về tính chất ba đường trung trực của tam giác mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp các bạn biết cách chứng minh để áp dụng vào làm bài tập nhanh chóng nhé