Tính chất ba đường phân giác của tam giác và bài tập có lời giải

Trong chuyên mục Toán Học hôm nay, Samsung Contest tiếp tục chia sẻ tới các bạn lý thuyết về tính chất ba đường phân giác của tam giác và cách chứng minh đường phân giác của tam giác, bài tập minh họa có lời giải để các bạn cùng tham khảo

Đường phân giác của tam giác là gì?

Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm M, khi đó đoạn thẳng AM được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC. Ta cũng gọi đường thẳng AM là đường phân giác của tam giác ABC. Ngoài ra, mỗi tam giác có ba đường phân giác.

Tính chất: Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.

tinh-chat-ba-duong-phan-giac-cua-tam-giactinh-chat-ba-duong-phan-giac-cua-tam-giac-1

Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Tam giác ABC có ba đường phân giác giao nhau tại I, khi đó:

  • A1 = A2; B1 = B2; C1 = C2
  • ID = IE = IF

tinh-chat-ba-duong-phan-giac-cua-tam-giac-2

Tham khảo thêm:

Bài tập đường phân giác của tam giác

Ví dụ 1: Cho ΔABC có ∠A = 90°, các tia phân giác của ∠B và ∠C cắt nhau tại I. Gọi D, E là chân các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh AB và AC. Khi đó ta có:

A. AI là đường cao của ΔABC

B. IA = IB = IC

C. AI là đường trung tuyến của ΔABC

D. ID = IE

Lời giải

tinh-chat-ba-duong-phan-giac-cua-tam-giac-3

Xét ΔABC có các tia phân giác của ∠B và ∠C cắt nhau tại I nên I là giao điểm của ba đường phân giác trong ΔABC, suy ra AI là đường phân giác của góc ∠A và I cách đều ba cạnh của ΔABC (tính chất ba đường phân giác của tam giác). Vậy ta loại đáp án A,B và C

Vì I là giao điểm của ba đường phân giác trong ΔABC nên ⇒ DI = IE (tính chất ba đường phân giác của tam giác)

Chọn đáp án D

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong của hai góc B và góc C cắt nhau tại I và hai đường phân giác ngoài của hai góc ấy cắt nhau tại P. Chứng minh rằng A, I, P thẳng hàng

tinh-chat-ba-duong-phan-giac-cua-tam-giac-4

Hai phân giác góc trong của góc B^ và góc C^ cắt nhau tại I

Suy ra I cũng phải thuộc phân giác của góc A^

(tính chất ba đường phân giác) (1)

Từ P hạ PH, PK, PJ vuông góc lần lượt với AB, BC, AC.

Ta có: PH = PK (do P thuộc phân giác góc ngoài của góc B^)

Tương tự: PK = PJ ⇒ PH = PJ

Điều này chứng tỏ P thuộc phân giác góc A (2)

Từ (1) và (2) vậy A, I, P thẳng hàng.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng.

tinh-chat-ba-duong-phan-giac-cua-tam-giac-5

– Gọi M, N là trung điểm CA và BA.

ΔABC cân tại A có BM, CN là đường trung tuyến ứng với cạnh AC, AB.

⇒ BM = CN ( chứng minh ở bài 26)

Mà GB = 2/3Bm; GC = 2/3CN (Tính chất trọng tâm của tam giác)

⇒ GB = GC

– ΔAGB và ΔAGC có

AG chung

AB = AC (do ΔABC cân tại A)

GB = GC (chứng minh trên)

⇒ ΔAGB = ΔAGC (c.c.c)

⇒ góc BAG = góc CAG ( hai góc tương ứng)

⇒ G thuộc tia phân giác của góc BAC

– Theo đề bài I cách đều ba cạnh của tam giác

Dựa vào chứng minh bài 36 ⇒ I là điểm chung của ba đường phân giác

⇒ I thuộc tia phân giác của góc BAC

Vì G, I cùng thuộc tia phân giác của góc BAC nên A, G, I thẳng hàng

Ví dụ 4: Nêu cách vẽ điểm K ở trong tam giác MNP mà các khoảng cách từ K đến ba cạnh của tam giác đó bằng nhau. Vẽ hình minh họa.

tinh-chat-ba-duong-phan-giac-cua-tam-giac-6

Điểm K ở trong tam giác MNP mà các khoảng cách từ K đến ba cạnh của tam giác đó bằng nhau Theo định lí ⇒ K là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác MNP.

Vì vậy ta chỉ cần vẽ phân giác của hai trong ba góc của ∆MNP.

Cách vẽ :

– Vẽ ΔMNP

– Vẽ đường phân giác của hai góc M và N : MA là phân giác góc M ; NB là phân giác góc B

Chúng cắt nhau tại K

– K là điểm cần vẽ

Ví dụ 5: Cho tam giác DEF, điểm I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của nó. Chứng minh I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF.

tinh-chat-ba-duong-phan-giac-cua-tam-giac-7

Gọi IH, IK, IL lần lượt là khoảng cách từ I đến EF, DF, DE.

Theo đề bài, điểm I cách đều ba cạnh của ΔDEF ⇒ IH = IK = IL

IL = IK ⇒ I cách đều hai cạnh của góc D ⇒ I nằm trên đường phân giác của góc D.

IH = IK ⇒ I cách đều hai cạnh của góc F ⇒ I nằm trên đường phân giác của góc F.

IH = IL ⇒ I cách đều hai cạnh của góc E ⇒ I nằm trên đường phân giác của góc E.

Từ 3 điều trên suy ra I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF.

Bên trên chính là toàn bộ lý thuyết về tính chất ba đường phân giác của tam giác mà chúng tôi đã trình bày chi tiết có thể giúp bạn áp dụng vào chứng minh các bài tập đơn giản và chính xác nhé