Tính chất ba đường cao của tam giác, các dạng bài tập có lời giải từ A – Z

Trong bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ chia sẻ lý thuyết về tính chất ba đường cao của tam giác và các dạng bài tập thường gặp để các bạn cùng tham khảo nhé

Tính chất ba đường cao của tam giác

  • Mỗi tam giác có ba đường cao.
  • Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác

tinh-chat-ba-duong-cao-trong-tam-giac

Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo: Công thức tính đường cao trong tam giác thường, vuông, đều, cân

Tính chất đường cao trong tam giác cân

  • Trong tam giác cân có đường cao tương ứng với cạnh đáy chính là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đó. Như vậy, đường cao của tam giác cân đi qua trung điểm của cạnh đáy.
  • Đường cao của tam giác cân đồng thời cũng là đường phân giác của góc ở đỉnh và đường trung trực của đáy tam giác.
  • Trong một tam giác, nếu có một đường trung tuyến đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân. 
  • Trong một tam giác, nếu có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác là tam giác cân.

Tính chất đường cao trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông đường cao có đáy là một cạnh góc vuông trùng với cạnh góc vuông còn lại. Đường cao với đáy là cạnh huyền chia cạnh huyền thành hai đoạn

Tính chất đường cao trong tam giác đều

Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.

tinh-chat-ba-duong-cao-trong-tam-giac-1

Bài tập tính chất ba đường cao của tam giác

Ví dụ 1: Cho ΔABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Em hãy chọn phát biểu đúng:

A. H là trọng tâm của ΔABC

B. H là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC

C. CH là đường cao của ΔABC

D. CH là đường trung trực của ΔABC

Lời giải:

Vì hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H nên CH là đường cao của ΔABC và H là trực tâm tam giác ΔABC nên A, B, D sai, C đúng.

Chọn đáp án C

Ví dụ 2: Cho ΔABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chọn câu đúng

A. AI > AK

B. AI < AK

C. AI = 2AK

D. AI = AK

tinh-chat-ba-duong-cao-trong-tam-giac-2

Lời giải

tinh-chat-ba-duong-cao-trong-tam-giac-3

Ví du 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy H thuộc AB, vẽ HE ⊥ BC ở E. Tia EH cắt tia CA tại D. Khi đó

A. H là trọng tâm của tam giác BDC

B. H là trực tâm của tam giác BDC

C. H là giao ba đường trung trực của tam giác BDC

D. H là giao ba đường phân giác của tam giác BDC

Lời giải

tinh-chat-ba-duong-cao-trong-tam-giac-4

Trong tam giác BDC có:

BA ⊥ CD tại A (do tam giác ABC vuông tại A) ⇒ BA là một đường cao của tam giác BDC

DE ⊥ BC tại E (do HE ⊥ BC) ⊥ DE là một đường cao của tam giác BCD

Mà DE ∩ BA = H

Do đó H là giao điểm của hai đường cao trong tam giác BDC

Suy ra H là giao điểm của ba đường cao trong tam giác BDC

Vậy H là trực tâm của tam giác BDC.

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông ở A có đường cao AD. Lấy H thuộc AD và E thuộc CD sao cho HE // AC Khi đó

A. BH ⊥ AE

B. BH // AE

C. AE ⊥ AD

D. BH ⊥ AD

tinh-chat-ba-duong-cao-trong-tam-giac-5

+ Ta có: HE // AC; AC ⊥ AB (do tam giác ABC vuông tại A)

Suy ra HE ⊥ AB (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Trong tam giác ABE có:

AD ⊥ BE tại D nên AD là một đường cao của tam giác ABE

HE ⊥ AB nên E, H thuộc một đường cao của tam giác ABE

Mà H = HE ∩ AD

Do đó H là giao của hai đường cao trong tam giác ABE

Nên H là giao của ba đường cao trong tam giác ABE (ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm)

Vậy H là trực tâm của tam giác ABE

Suy ra BH ⊥ AE nên đáp án A đúng, đáp án B sai

+ Vì tia AD và tia AE đều nằm trong góc BAC, mà góc BAC bằng 900 nên AD không thể vuông góc với AE, do đó đáp án C sai.

+ Vì BH ⊥ AE mà AE ∩ AD = A nên BH không thể vuông góc với AD nên đáp án D sai.

Chọn đáp án A

Ví dụ 5: Cho ΔABC, các tia phân giác góc B và A cắt nhau tại điểm O. Qua O kẻ đường thẳng song song BC cắt AB tại M, cắt AC tại N. Cho BM = 2cm, CN = 3cm. Tính MN?

tinh-chat-ba-duong-cao-trong-tam-giac-6

Hy vọng với những kiến thức về tính chất ba đường cao của tam giác có thể giúp các bạn giải các bài tập nhanh chóng và chính xác nhé