Công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trong không gian chính xác 100%

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chia sẻ tới các bạn kiến thức khoảng cách giữa hai mặt phẳng trong không gian như khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng trùng nhau, khoảng cách giữa hai mặt phẳng chéo nhau. Giúp các bạn có thể nắm được phương pháp nhanh chóng nhé

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng là gì?

Khoảng cách từ một điểm M lên mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa M và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (P). Ký hiệu là d(M,(P)).

Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (P), (Q) song song trong không gian. Phương trình của chúng đều có thể đưa về dạng:

  • (P): ax + by + cz + d = 0
  • (Q): ax + by + cz + d’ = 0

Với (a² + b² + c² >0 và d ≠ d’)

Khi đó giả sử M(α;β;γ) thuộc mặt phẳng (P) ta có: aα + bβ + cγ = -d. Khoảng cách giữa (P) và (Q) chính là khoảng cách giữa M và (Q). Do đó khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) sẽ là:

khoang-cach-giua-2-mat-phang

Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là gì?

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Khoảng cách giữa mặt phẳng (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng (P) đến mặt phẳng (Q) hoặc ngược lại. Ký hiệu là d((P),(Q)).

Cách tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng song song với nhau với phương trình lần lượt là (α): ax + by + cz + d1 = 0 và (β): ax + by + cz + d2 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được xác định theo công thức

khoang-cach-giua-2-mat-phang-1

Nếu d= d2.thì khoảng cách giữ hai mặt phẳng trùng nhau là d((α); (β)) = 0

Các dạng bài tập về khoảng cách giữa hai mặt phẳng 

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, có hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là (α): x – 2y + z + 1 = 0 và (β): x – 2y + z + 3 = 0. Hãy tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng?

Lời giải

Ta có:

(α): x – 2y + z + 1 = 0

(β): x – 2y + z + 3 = 0

khoang-cach-giua-2-mat-phang-2

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng song song (P): x + y + 3z + = 0 và (Q): x + y + 3z + 5 = 0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Lời giải:

khoang-cach-giua-2-mat-phang-3

Ví dụ 3: CCho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng(MNP) và (ACC’).

khoang-cach-giua-2-mat-phang-4

Lời giải:

Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AD và CD nên MN là đường trung bình của tam giác ADC.

⇒ MN // AC (1)

+ Do M; P lần lượt là trung điểm của AD và A’D’ nên MP // AA’ // DD’

Lại có: CC’ // AA’ nên MP // CC’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ( MNP) // (ACC’)

+ Gọi O là giao điểm của A’C’ và B’D’. Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ tứ giác đều nên D’O ⊥ (AA’C’C) và d(D’; (ACC’)) = D’O.

khoang-cach-giua-2-mat-phang-5

Ví dụ 4: Hai mặt phẳng (α) // (β), cách nhau 3. Biết phương trình của mỗi mặt phẳng là (α): 2x – 5y – 3z + 1 = 0 và (β): ax + by + cz + d2 = 0. Hãy xác định các hệ số của phương trình mặt phẳng (β).

Lời giải:

Vì (α) // (β) => a = 2; b = – 5 và c = – 3

Mặt khác: d((α); (β)) = 3

khoang-cach-giua-2-mat-phang-6

Phương trình mặt phẳng (β): 2x – 5y – 3z + (3√38–1) = 0

Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=4,AD=3. Mặt phẳng (ACD′) tạo với mặt đáy một góc 60. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.

khoang-cach-giua-2-mat-phang-7

khoang-cach-giua-2-mat-phang-8

Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC và A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ACC’)

khoang-cach-giua-2-mat-phang-9

Lời giải:

Nhận xét (ACC’) ≡ (ACC’A’)

Gọi O = AC ∩ BD, I = MN ∩ BD

+ Ta có M và N lần lượt là trung điểm của AD và DC nên MN là đường trung bình của tam giác ADC và MN // AC (1)

+ Tương tự: M, P lần lượt là trung điểm của AD và A’D’ nên MP là đường trung bình của hình thang A’D’DA

⇒ MP // AA’ // PP’ (2) .

Từ (1) và (2) suy ra: (MNP) // (ACC’)

Mà O thuộc mp( ACC’) nên d((MNP); (ACC’) ) = d(O; (ACC’))

+ Ta có: OI ⊥ AC và OI ⊥ AA’ (vì AA’ ⊥ (ABCD) và OI ⊂ (ABCD))

⇒ OI ⊥ (ACC’A’) nên d(O; (ACC’)) = OI

=> khoang-cach-giua-2-mat-phang-10

Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khoảng cách giữa (ACB’) và (DA’C’) là bao nhiêu?

khoang-cach-giua-2-mat-phang-11

Lời giải:

+ Ta có : AC // A’C’ và B’C // A’D

=> (ACB’) // (DA’C’)

Lại có: D ∈ mp(DA’C’) nên d((ACB’), (DA’C’)) = d(D, (ACB’)) = d(B, (ACB’))

+ Vì BA = BB’ = BC = a và nên hình chóp B.ACB’ là hình chóp tam giác đều

+ Gọi I là trung điểm AC và G là trọng tâm tam giác ACB’.

⇒ BG ⊥ (ACB’)

Khi đó ta có: d(B, (ACB’)) = BG

+ Vì tam giác ACB’ đều cạnh a√2 nên

khoang-cach-giua-2-mat-phang-12

Theo tính chất trọng tâm ta có:

khoang-cach-giua-2-mat-phang-13

Trong tam giác vuông BGB’ có:

khoang-cach-giua-2-mat-phang-14

Hy vọng với những kiến thức về khoảng cách giữa hai đường thẳng mà chúng tôi đã trình bày chi tiết phía trên có thể giúp bạn nắm được phương pháp tìm khoảng cách trong các bài tập nhé