Tính chất hình vuông, dấu hiệu nhận biết, cách chứng minh hình vuông từ A – Z

Bạn không nhớ được định nghĩa hình vuông là gì? Dấu hiệu nhận biết và tính chất hình vuông nên không thể chứng minh được tứ giác là hình vuông. Sau đây, Samsung Contest sẽ chia sẻ lý thuyết về hình vuông là gì? Dấu hiệu nhận biết, tính chất hình vuông và cách chứng minh tứ giác là hình vuông kèm theo ví dụ minh họa cụ thể để các bạn cùng tham khảo

Hình vuông là gì?

Hình vuông là hình tứ giác đều có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau (4 góc vuông bằng 900). Ngoài ra, có thể coi hình vuông là hình chữ nhật có các cạnh bằng nhau hoặc là hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau.

tinh-chat-hinh-vuong

Dấu hiệu nhận biết hình vuông

Một hình tứ giác là một hình vuông khi và chỉ khi:

  • Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.
  • Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc.
  • Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc.
  • Hình thoi có một góc vuông.
  • Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
  • Hình bình hành có một góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau.

Tính chất hình vuông

Trong một hình vuông có:

  • Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc và giao nhau tại trung điểm của mỗi đường.
  • Có 2 cặp cạnh song song.
  • Có 4 cạnh bằng nhau.
  • Có một đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp đồng thời tâm của cả hai đường tròn trùng nhau và là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông.
  • Một đường chéo sẽ chia hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau.
  • Giao điểm của các đường phân giác, trung tuyến, trung trực đều trùng tại một điểm.

Tham khảo thêm:

Cách chứng minh tứ giác là hình vuông

Cách 1: Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau

Phương pháp: Để chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau ta thực hiện như sau:

  • Chứng minh tứ giác đó là hình chữ nhật.
  • Chứng minh tứ giác đó có 2 cạnh kề bằng nhau.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

tinh-chat-hinh-vuong-1

Theo bài ra, ta có:

ΔABC vuông cân tại A => Góc B = C = 45°

ΔBHE vuông tại H và có Góc B = 45° => ΔBHE vuông cân tại H

=> HB = HE

ΔCGF vuông tại G và có Góc C= 45° => ΔCGF vuông cân tại G

=> GC = GF

Mà BH = HG = GC (giả thiết)

=> HE = HG = GF

Lại có EH // GF (cùng vuông góc với BC) và EH = GF

=> Tứ giác HEFG là Hình bình hành ( Tứ giác có một cặp cạnh đối song song bằng nhau là Hình bình hành ).

Ngoài ra, Góc EHG = 90° nên HEFG là Hình chữ nhật, lại có EH = HG (chứng minh trên).

Vậy HEFG là Hình vuông ( Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau là Hình vuông ). ( đpcm)

Cách 2: Hình chữ nhật có đường chéo là phân giác

Phương pháp: Để chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình chữ nhật có đường chéo là phân giác ta thực hiện như sau:

  • Chứng minh tứ giác đó là hình chữ nhật.
  • Chứng minh tứ giác đó có đường chéo là đường phân giác của một góc.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vuông.

tinh-chat-hinh-vuong-2

Xét tứ giác AMDN, ta có:

Góc MAN = 90° (giả thiết)

DM ⊥ AB (giả thiết) => Góc AMD = 90°

DN ⊥ AC (giả thiết) => Góc AND = 90°

Suy ra Tứ giác AMDN là Hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông)

Lại có đường chéo AD là đường phân giác của A

Vậy Hình chữ nhật AMDN là Hình vuông

Cách 3: Hình thoi có 1 góc vuông

Phương pháp: Để chứng minh tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu hình thoi có 1 góc vuông ta thực hiện như sau:

  • Chứng minh tứ giác đó là hình thoi.
  • Chứng minh tứ giác đó có 1 góc vuông.

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ. Tứ giác EKPQ là hình gì? Vì sao?

tinh-chat-hinh-vuong-3

Ta có: AB = BC = CD = DA (gt)

AE = BK = CP = DQ (gt)

=> EB = KC = PD = QA

Xét ΔAEQ và ΔBKE, ta có:

AE = BK (gt)

A = B = 90°

QA = EB (chứng minh trên)

=> ΔAEQ = ΔBKE (c.g.c)

=> EQ = EK

Chứng minh tương tự, ta có: EK = KP, KP = PQ

Suy ra: EK = KP = PQ = EQ => Tứ giác EKPQ là Hình thoi. (1)

Mặt khác: ΔAEQ = ΔBKE

⇒ Góc AQE = BKE

Mà Góc AQE + AEQ = 90°

=> Góc BKE + AEQ = 90°

Lại có, Góc BKE + QEK + AEQ = 180°

Suy ra: Góc QEK = 180° – Góc BKE – Góc AEQ = 180° – 90° = 90° (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EKPQ là Hình vuông ( Hình thoi có 1 góc vuông là Hình vuông. ( đpcm)

Bài tập hình vuông thường gặp

Ví dụ 1: Trong các dấu hiệu nhận biết sau thì dấu hiệu nào không đủ điều kiện để tứ giác là hình vuông?

A. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

B. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

C. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

D. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Lời giải:

Dấu hiệu nhận biết hình vuông:

+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

+ Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

+ Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác một góc là hình vuông.

+ Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

+ Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

→ Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau thì không là hình vuông.

→ Đáp án D sai.

Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Tìm câu nói đúng khi nói về hình vuông?

A. Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

B. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

C. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

D. Các phương án đều đúng.

Lời giải

Dấu hiệu nhận biết hình vuông:

+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

+ Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

+ Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác một góc là hình vuông.

+ Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

+ Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

⇒ Hình vuông vừa là hình chữ nhật, cũng vừa là hình thoi.

⇒ Cả 3 phương án đều đúng.

Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Tìm các hình vuông trên hình 105.

tinh-chat-hinh-vuong-4

Lời giải

Hình 105a: Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ ABCD là hình bình hành.

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau ⇒ ABCD là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật ABCD có AB = BC ⇒ABCD là hình vuông.

– Hình 105b: Tứ giác EFGH có hai đường chéo không bằng nhau nên không là hình vuông.

– Hình 105c: Tứ giác MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒MNPQ là hình bình hành.

Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo bằng nhau ⇒ MNPQ là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật MNPQ có MP ⊥ NQ tại O ⇒ MNPQ là hình vuông.

– Hình 105d: Tứ giác RSTU có 4 cạnh bằng nhau ⇒ RSTU là hình thoi.

Hình thoi RSTUcó một góc vuông ⇒RSTU là hình vuông.

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự ở E và F.

a) Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ?

b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi ?

c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì ? Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông ?

tinh-chat-hinh-vuong-5

Lời giải

a) Xét tứ giác AEDF có :DE/ / AF, DF // AE (giả thiết)

⇒Tứ giác AEDF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

b) Hình bình hành AEDF là hình thoi thì AD là tia phân giác của góc CAB

Do đó D là giao điểm của tia phân giác của góc CAB với BC thì hình bình hành AEDF là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).

c) Nếu ΔABC vuông tại A thì hình bình hành AEDF có một góc vuông do đó hình bình hành AEDF là hình chữ nhật ( theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Nếu ΔABC vuông tại A và D là giao điểm của tia phân giác của góc CAB với cạnh BC thì AEDF là hình vuông (vì khi đó AEDF là hình thoi có một góc vuông).

Ví dụ 5: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF vàCE.

a) Tứ giácADFE là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao?

tinh-chat-hinh-vuong-6

tinh-chat-hinh-vuong-7

tinh-chat-hinh-vuong-8

Sau khi đọc xong bài viết của Samsung Contest vừa chia sẻ phía trên có thể giúp các bạn nắm được định nghĩa, dấu hiệu nhận biết và tính chất hình vuông để có thể chứng minh tứ giác là hình vuông một cách đơn giản và nhanh chóng