Tính chất hình bình hành, dấu hiệu nhận biết, chứng minh hình bình hình từ A – Z

Hình bình hành là một trong những hình học được sử dụng rất trong các bài tập từ trung học lên cấp phổ thông. Nếu các bạn không nắm được hình bình hành là gì? Tính chất hình bình hành và dấu hiệu nhận biết hình bình hành thì không thể chứng minh hình binh hành được. Tuy nhiên, các bạn đừng quá lo lắng tất cả sẽ được chúng tôi chia sẻ lý thuyết hình bình hành là gì chi tiết trong bài viết dưới đây

Hình bình hành là gì?

Trong hình học Euclid, hình bình hành là một hình tứ giác được tạo thành khi hai cặp đường thẳng song song cắt nhau. Nó là một dạng đặc biệt của hình thang.

hinh-binh-hanh-la-gi

Tính chất hình bình hành

Trong hình bình hành có:

  • Các cạnh đối song song và bằng nhau.
  • Các góc đối bằng nhau.
  • Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Dấu hiệu nhận biết hình hành

  • Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
  • Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
  • Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song và vừa bằng nhau là hình bình hành.
  • Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
  • Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
  • Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành.
  • Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành

Tham khảo thêm:

Bài tập chứng minh hình bình hành

Ví dụ 1: Trong các tứ giác sau, tứ giác nào là hình bình hành? Vì sao?

hinh-binh-hanh-la-gi-1

Lời giải:

a) Tứ giác ABCD có AB = CD, BC = AD do đó ABCD là hình bình hành.

b) Tứ giác ABCD có A = C ; B = D do đó ABCD là hình bình hành.

c) Tứ giác ABCD có A + D∧ = 700 + 1050 = 1750 ≠ 1800 nên AB và CD không song song. Suy ra, ABCD không phải hình bình hành

d) Tứ giác ABCD có hai đường chéo là AC vad BD. AC giao BD tại O. Ta có: OA = OC, OB = OD nên ABCD là hình bình hành.

e) Tứ giác ABCD có B + C∧ = 800 + 1000 = 1800 nên AB song song với CD, mà AB = CD suy ra ABCD là hình bình hành.

Ví dụ 2: Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

hinh-binh-hanh-la-gi-2

Lời giải

Xét tam giác ABC có:

E là trung điểm AB

F là trung điểm BC

Suy ra, EF là đường trung bình của tam giác ABC

EF // AC, EF = ½ AC (1)

Xét tam giác ACD có:

H là trung điểm của AD

G là trung điểm củ CD

Suy ra, HG là đường trung bình của tam giác ACD

HG // CD, HG = ½ CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra, EF//HG và EF = HG

Xét tứ giác EFGH có: EF//HG và EF = HG

Suy ra, EFGH là hình bình hành.

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD (AB>BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F.

a) Chứng minh rằng DE // BF

b) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?

hinh-hinh-hanh-la-gi-3

Lời giải

hinh-hinh-hanh-la-gi-4

b) Tứ giác DEBF có:

DE // BF (chứng minh ở câu a)

BE // DF (vì AB // CD)

⇒ Tứ giác DEBF là hình bình hành.

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Từ A kẻ AE vuông góc với BD, từ C kẻ CF vuông góc với BD. Chứng minh rằng Tứ giác AECF là hình bình hành.

hinh-binh-hanh-la-gi-5

Ta có:

OA = OC (tính chất hình bình hành) (1)

Xét hai tam giác vuông AEO và CFO có:

Góc AEO = Góc CFO = 90°

OA = OC

Góc AOE = Góc COF (đối đỉnh)

Suy ra, ∆AEO = ∆CFO (cạnh huyền – góc nhọn) => OE = OF (2)

Từ (1) và (2) suy ra Tứ giác AECF là hình bình hành do có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Ví dụ 5:Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

hinh-binh-hanh-la-gi-6

Lời giải

Tứ giác EFGH là hình bình hành.

Cách 1: EB = EA, FB = FC (giả thiết)

Nên EF là đường trung bình của ∆ABC.

Do đó EF // AC

Tương tự HG là đường trung bình của ∆ACD.

Do đó HG // AC

⇒ EF // HG (1)

Chứng minh tương tự ⇒ EH // FG (2)

Từ (1) và (2) suy ra EFGH là hình bình hành (dấu hiêu nhận biết 1).

Cách 2: EF là đường trung bình của ∆ABC nên EF = ½.AC.

HG là đường trung bình của ∆ACD nên HG = ½ AC.

Suy ra EF = HG

Lại có EF // HG ( chứng minh trên)

Vậy EFGH là hình-bình-hành (dấu hiệu nhận biết 3).

Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Đường chéo BD cắt AK, AI lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng: AK // CI và DM = MN = NB

hinh-binh-hanh-la-gi-7

Lời giải

a có:

AB // CD và AB = CD ( do ABCD là hình bình hành)

I, K lần lượt là trung điểm AB, DC => AI=IB và DK = KC

Tứ giác AICK có cặp cạnh đối song song và bằng nhau (AI và KC) nên AICK là Hình bình hành nên AK // CI (điều phải chứng minh)

Tiếp theo ta có:

AM // IN và MK // NC

Xét tam giác AMB có:

AM // TRONG

AI = BI (I là trung điểm AB)

IN là đường trung bình của tam giác AMB

N là trung điểm MB => MN = NB (1)

Tương tự, xét tam giác DNC có:

MK // NC

DK = CK (K là trung điểm DC)

MK là đường trung bình của tam giác DNC

M là trung điểm DN => DM = NM (2)

Từ (1) và (2) suy ra DM = MN = NB (điều phải chứng minh).

Hy vọng với những chia sẻ của chúng tôi sẽ giúp các bạn nhớ được hình bình hành là gì? tính chất hình bình hành và dấu hiệu nhận biết hình bình hành từ đó có thể áp dụng vào bài tập chứng minh hình bình hành đơn giản và nhanh chóng nhé