Hàm số liên tục tại một điểm, một khoảng và các dạng bài tập có lời giải từ A – Z

Trong bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ nhắc lại kiến thức về hàm số liên tục cụ thể hàm số liên tục tại một điểm hay hàm số liên tục tại một khoảng, các định lý về hàm số liên tục giúp bạn củng cố lại kiến thức để vận dụng vào giải các bài tập nhé

Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Hàm số y = f(x) đươc gọi là liên tục tại x0 nếuham-so-lien-tuc

Nếu tại điểm x0 hàm số y = f(x) không liên tục, thì được gọi là gián đoạn tại x0 và điểm x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số y = f(x).

Nhận xét. Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu ba điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:

ham-so-lien-tuc-3

Hàm số y = f(x) gián đoạn tại điểm x0 nếu có ít nhất 1 trong 3 điều kiện trên không thỏa mãn. Nếu sử dụng giới hạn một bên thì:

ham-so-lien-tuc-4

Hàm số liên tục trên một khoảng

Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Nếu hàm số liên tục trên khoảng (a;b) thì trên khoảng đó, đồ thị hàm số là một đường nét liền liên tục (không bị đứt).

ham-so-lien-tuc-2

Hàm số liên tục trên một đoạn

Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và ham-so-lien-tuc-1

Hàm số liên tục trên R

Hàm liên tục trên R là trường hợp riêng của hàm liên tục trên khoảng.

Các hàm mà ta công nhận nó liên tục trên R mà không cần chứng minh gồm: Hàm đa thức, hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, hàm phân thức có tập xác định R, hàm mũ.

Các định lý về hàm số liên tục

Định lí 1.

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

Định lí 2. Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0 . Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) − g(x) và y = f(x).g(x)liên tục tại x0.

b) Hàm số ham-so-lien-tuc-6liên tục tại x0 nếu g(x0) = 0

Định lí 3. Các hàm đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm lượng giác là liên tục trên tập xác định của nó.

Định lý 4: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) <0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0

Tham khảo thêm:

Các dạng bài tập về hàm số liên tục

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0

– Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D và điểm x0 ∈ D. Để xét tính liên tục của hàm số trên tại điểm x = x0 ta làm như sau:

+ Tìm giới hạn của hàm số y = f(x) khi x → x0 và tính f(x0)

ham-so-lien-tuc-7

Chú ý:

1. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó.

ham-so-lien-tuc-8

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:

ham-so-lien-tuc-9

Lời giải:

f(1) = -3

Vậy hàm số f(x) liên tục tại x0 = 1
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x)=x3+2x-1 tại x0=3.
ham-so-lien-tuc-11

Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng, 1 đoạn

Phương pháp:

Ta sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …

Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số  f(x) = tan2x + cosx

Lời giải

Tập xác định của hàm số là:

ham-so-lien-tuc-12

Vậy hàm số liên tục trên R

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra

ham-so-lien-tuc-13

f(1) = 1

ham-so-lien-tuc-14

Vậy hàm số f(x) liên tục tại x0 = 1

Hy vọng với những kiến thức về hàm số liên tục và các dạng bài tập có thể giúp các bạn củng cố lại kiến thức của mình để có thể giải các bài tập nhanh chóng nhé