Đường trung tuyến là gì? Tính chất, công thức tính đường trung tuyến chuẩn 100%

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu tới các bạn kiến thức về đường trung tuyến là gì? Tính chất đường trung tuyến trong tam giác, công thức tính độ dài đường trung tuyến và các dạng bài tập có lời giải chi tiết trong bài viết dưới đây để các bạn tham khảo

Đường trung tuyến là gì?

Đường trung tuyến của đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới của cạnh đối diện. Mỗi tam giác sẽ có 3 đường trung tuyến.

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác

duong-trung-tuyen

Đường trung tuyến của một tam giác:

  • 3 đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại 1 điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác.
  • Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
  • Khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm của mỗi cạnh bằng 1/3 độ dài đường trung tuyến tương ứng với cạnh đó
  • Mỗi trung tuyến chia diện tích của tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông

duong-trung-tuyen-1

  • Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
  • Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân

duong-trung-tuyen-2

  • Đường trung tuyến ứng từ góc đỉnh sẽ vuông góc với cạnh đáy tương ứng (nó là đường trung trực của cạnh đáy)
  • Đường trung tuyến ứng từ góc đỉnh sẽ chia góc đỉnh thành 2 góc bằng nhau (Nó là đường phân giác của góc đỉnh).
  • Có đầy đủ các tính chất của đường trung tuyến tam giác thông thường

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác đều

duong-trung-tuyen-3

  • Ba đường trung tuyến của tam giác đều có độ dài bằng nhau.
  • Ba đường trung tuyến đồng thời cũng là 3 đường trung trực và đường phân giác của tam giác đều.
  • Có đầy đủ các tính chất của đường trung tuyến tam giác cân

Tham khảo thêm: Đường trung bình của tam giác, hình thang và các dạng bài tập có lời giải

Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Độ dài đường trung tuyến của một tam giác được tính thông qua độ dài các cạnh của tam giác và được tính bằng định lý Apollonnius:

  • m a = √ (2b 2 + 2c 2 – a 2 ) / 4
  • m b = √ (2a 2 + 2c 2 – b 2 ) / 4
  • m c = √ (2a 2 + 2b 2 – c 2 ) / 4

Trong đó:

a, b, c: là các cạnh của tam giác.
ma, mb, mc: là các đường trung tuyến của tam giác.

Các dạng bài tập đường trung tuyến thường gặp

Dạng 1: Tìm các tỉ lệ giữa các cạnh và tính độ dài đoạn thẳng

Đối với dạng bài này, ta sẽ chủ yếu dựa vào trọng tâm trong tam giác.

Sử dụng định lý: Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Trên cạnh AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của đoạn AG’. Yêu cầu so sánh:

a. Những cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ABC.

b. Những đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC

duong-trung-tuyen-4

a. Ta có BG cắt AC tại điểm N, CG cắt AB tại điểm E và G là trọng tâm của tam giác ABC.

=> GA = ⅔ AM

Vì G là trung điểm của AG’ => GA =GG’

Suy ra: GG’ = ⅔ AM

Theo giả thuyết ta có G là trọng tâm của tam giác ABC

=> GB = ⅔ BN

Mặt khác: GM = ½ AG (vì G là trọng tâm)

AG = GG ‘=> GM = ½ GG’

M là trung điểm của đoạn GG’

Vì GM = MG’ và MB = Mc => tam giác GMC = tam giác G’MB

Suy ra: BG’ = CG

Mà CG = ⅔ CE (G là trọng tâm của tam giác ABC)

=> BG ‘= ⅔ CE

Vậy mỗi cạnh của tam giác BGG’ bằng ⅔ các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Ta có BM là đường trung tuyến của tam giác BGG’ mà điểm M lại là trung điểm của đoạn BC nên BM = ½ BC

I là trung điểm của BG => IG = ½ BG

G là trọng tâm tam giác ABC => GN = ½ BG

Suy ra: IG = GN

=> tam giác IGG’ = tam giác NGA theo trường hợp cạnh.góc.cạnh

=> IG ‘= AN => IG’ = ½ AC

Gọi K là trung điểm của đoạn BG => GK là trung tuyến của tam giác BGG’

Mặt khác, vì G là trọng tâm của tam giác ABC => GE = ½ GC

Mà K là trung điểm của BG’ => KG” = EG

Vì tam giác GMC = tam giác G’BM (chứng minh trên)

=> tam giác GCM = tam giác G’BM theo trường hợp góc so le trong

=>CE//BG => tam giác AGE = tam giác AG’B theo trường hợp đồng vị

Do đó tam giác AGE = tam giác GG’K (c.g.c) => AE = GK

Mà AE = ½ AB nên GK = ½ AB

Vậy mỗi đường trung tuyến của tam giác BGG’ bằng ½ các cạnh của tam giác ABC.

Dạng 2: Đường trung tuyến với các tam giác đặc biệt

Dạng bài này cần lưu ý như sau để giải bài nhanh chóng:

– Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.

– Trong tam giác cân và tam giác đều, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy và chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H.

a. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC.

b. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quy.

duong-trung-tuyen-5

a. Ta có BD là đường trung tuyến của tam giác ABC

CE là đường trung tuyến của tam giác ABC

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC

Mà AH đi qua G nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC

\ RightarrowHB = HC

Xét hai tam giác AHB và tam giác AHC có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

AH chung

HB = HC

⇒ ΔAHB = ΔAHC (c – c – c)

b. Ta có IA = IG nên CI là đường trung tuyến của tam giác AGC (1)

Ta lại có KG = KC nên AK là đường trung tuyến của tam giác AGC (2)

DG là đường trung tuyến của tam giác AGC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 3 đường trung tuyến CI, AK, DG đồng quy tại I

Dạng 3: Tính độ dài đường trung tuyến

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến

  • m a = √ (2b 2 + 2c 2 – a 2 ) / 4
  • m b = √ (2a 2 + 2c 2 – b 2 ) / 4
  • m c = √ (2a 2 + 2b 2 – c 2 ) / 4

Ví dụ: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.

Áp dụng công thức trung tuyến ta có:

duong-trung-tuyen-6

Sau khi đọc xong bài viết của chúng tôi các bạn có thể biết được đường trung tuyến là gì? Tính chất đường trung tuyến trong tam giác và công thức để áp dụng giải các bài tập nhé