Đường trung bình của tam giác, hình thang và các dạng bài tập có lời giải [A – Z]

Ở môn Toán hôm nay, chúng tôi sẽ giới thiệu lý thuyết về đường trung bình của tam giác đường trung bình của hình thang giúp bạn hệ thống lại những kiến thức để vận dụng vào làm bài tập nhé.

Đường trung bình của tam giác

Định nghĩa

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác, mỗi tam giác có ba đường trung bình.

Định lý

Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và dài bằng nửa cạnh ấy

Ví dụ:

duong-trung-binh-cua-tam-giac

Tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB và AD.

Suy ra DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó DE // BC, DE = ½ BC

Đường trung bình của hình thang

Định nghĩa:

Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

Định lý

Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh thứ hai.

Định lý 2: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy

Ví dụ:

duong-trung-binh-cua-hinh-thang

Hình thang ABCD (AB//CD) có E, F lần lượt là trung điểm hai cạnh bên AD, BC.

Suy ra EF là đường trung bình của hình thang ABCD

Do đó: EF // AB // CD, EF = (AB + CD)/2

Tham khảo thêm:

Các dạng bài tập về đường trung bình của tam giác và hình thang

Dạng 1: Chứng minh các hệ thức về cạnh và góc. Tính các cạnh và góc.

Phương pháp:

Để thực hiện được các bài toàn chứng minh dạng 1 bạn phải dựa vào các tính chất về đường trung bình của tam giác và hình thang như:

  • Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và có chiều dài bằng nửa tổng hai đáy.
  • Đường trung bình của hình tam giác thì song song với cạnh thứ ba và có chiều dài bằng một nửa cạnh đó.
  • Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
  • Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.

Ví dụ 1: Cho tam giác MNP vuông tại M, MP = 12 cm, PN = 13 cm. Gọi O, Q là trung điểm của MP và PN.

a) Chứng minh OQ vuông góc với MP.

b) Tính độ dài OQ.

duong-trung-binh-cua-tam-giac-1

Lời giải:

a) Chứng minh OQ vuông góc với MP.

OQ là đường trung bình của tam giác MNP (Giả thiết).

=> OQ // MN (Định lý 2).

Mà MN vuông góc với MP (Tam giác MNP vuông tại M).

Do đó OQ vuông góc với MP.

b) Tính độ dài OQ.

Áp dụng định lý Pytago cho Δ MNP ta có

NP2 = MP2 + MN2

=> MN2 = NP2 – MP2

=>  MN2 = 132 – 122 = 25

=> MN = 5

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên các cạnh góc vuông AB, AC lấy D và E sao cho AD = AE. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC tại K. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở H. Gọi M là giao điểm của DK và AC. CMR:

a. Δ BAE = Δ CAD

b. Δ MDC cân

c. HK = HC

duong-trung-binh-cua-hinh-thang-2

Lời giải

duong-trung-binh-cua-tam-giac-2

Dạng 2: Chứng minh một cạnh là đường trung bình của tam giác, hình thang.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa đường trung bình của tam giác và hình thang.

  • Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
  • Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD) và AB = BC

a) Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc BCD

b) Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của AD,BC, AC, BD. Chứng minh rằng M, N, E, F thẳng hàng

Lời giải

duong-trung-binh-cua-hinh-thang-3

Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp bạn nắm được đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang để áp dụng làm bài tập nhanh chóng nhé