Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì? Tính chất, cách xác định tâm chuẩn 100%

Hiện nay, có rất nhiều các bạn học sinh không nắm được đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì? tính chất và cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như thế nào? Tìm bán kính và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác,..Tất cả sẽ được chúng tôi trình bày chi tiết trong bài viết dưới đây các bạn cùng tham khảo nhé

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó hay nói cách khác tam giác nội tiếp đường tròn. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.

duong-tron-ngoai-tiep-tam-giac

Tâm đường tròn ngoại tiếp là gì?

Giao của 3 đường trung trực trong tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp (hoặc có thể là 2 đường trung trực).

Tính chất đường tròn ngoại tiếp tam giác

  • Mỗi tam giác chỉ có 1 đường tròn ngoại tiếp.
  • Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường trung trực của tam giác.
  • Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
  • Đối với tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác trùng với nhau.

Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Có 2 cách để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:

Cách 1:

  • Bước 1: Viết phương trình đường trung trực hai cạnh bất kỳ tam giác.
  • Bước 2: Tìm giao điểm hai đường trung trực, chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Cách 2:

  • Bước 1: Gọi I (x, y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có IA = IB = IC = R.
  • Bước 2: Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác: Tọa độ tâm I là nghiệm của phương trình:duong-tron-ngoai-tiep-tam-giac-1

1. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

  • Tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều là trực tâm của tam giác đều

duong-tron-ngoai-tiep-tam-giac-4

2. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

  • Tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền ( Chứng minh tam giác vuông nội tiếp đường tròn )
  • Xác định tam giác đó có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác thì tam giác đó là tam giác vuông

duong-tron-ngoai-tiep-tam-giac-5

3. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác cân

duong-tron-ngoai-tiep-tam-giac-6

  • Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác cân sẽ nằm trên đường cao, hạ từ đỉnh A xuống BC
  • Ta dựng đường trung trực của cạnh AB, đường này cắt đường cao hạ từ đỉnh A. Tại đây chúng giao nhau và ta đã xác định được tâm của đường tròn trong trường hợp của tam giác cân

Tham khảo thêm:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cho tam giác ABC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB. S là diện tích tam giác ABC

duong-tron-ngoai-tiep-tam-giac-2

Ta có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

R = abc/4S

Trong đó:

  • R: Là bán kính.
  • a, b, c: Lần lượt 3 cạnh tam giác.
  • S: Là diện tích tam giác.

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh. Để giải được bài toán viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ta thực hiện theo 4 bước sau:

  • Bước 1: Thay tọa độ mỗi đỉnh vào phương trình với ẩn a,b,c (Bởi các đỉnh thuộc đường tròn ngoại tiếp, nên tọa độ các đỉnh thỏa mãn phương trình đường tròn ngoại tiếp cần tìm)
  • Bước 2: Giải hệ phương trình tìm a,b,c
  • Bước 3: Thay giá trị a,b,c tìm được vào phương trình tổng quát ban đầu => phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.
  • Bước 4: Do A,B,C ∈ C nên ta có hệ phương trình: duong-tron-ngoai-tiep-tam-giac-3. Thay a, b, c vừa tìm được vào phương trình (C) ta có phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.

Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác

1. Dạng 1: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh

VD: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác A, B, C biết A(-1;2) B(6;1) C(-2;5)

Lời giải:

Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng:

(C): x2 + y2 – 2ax -2by + c = 0

Do A, B, C cùng thuộc đường tròn nên thay tọa độ A, B, C lần lượt vào phương trình đường tròn (C) ta được hệ phương trình:

duong-tron-ngoai-tiep-tam-giac-7

Do đó, Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tâm I (3;5) bán kính R = 5 là:

x2 + y2 – 6x – 10y + 9 = 0 hoặc (x – 3)2 + (y -5)2 = 25

2. Dạng 2: Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh

Ví dụ: Cho tam giác ABC với A(1;2), B(-1;0), C(3;2). Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Lơi giải

Gọi I(x;y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

duong-tron-ngoai-tiep-tam-giac-8

Vậy tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(2;-1)

3. Dạng 3: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

VD: Cho tam giác MNP vuông tại N, và MN = 6cm, NP = 8cm. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?

Cách giải:

Áp dụng định lý Pytago ta có:

PQ = 1/2 MP => NQ = QM = QP = 5cm.

Gọi D là trung điểm MP => ∆MNP vuông tại N có NQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MP.

=> Q là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP.

Suy ra: Đường tròn ngoại tiếp ∆MNP có tâm Q của cạnh huyền MP và bán kính R = MQ = 5cm.

Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp bạn hệ thống được kiến thức về đường tròn ngoại tiếp tam giác để vận dụng vào làm bài tập nhé