Định lý Pytago và các dạng bài tập có lời giải chính xác 100%

Trong bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ chia sẻ định nghĩa định lý Pytago thuận, đảo và công thức định lý Pytago kèm theo các dạng bài tập có lời giải để các bạn cùng tham khảo.

Định Pytago là gì?

Trong toán học, định lý Pytago hay còn gọi là Pythagoras là bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại.

Công thức định lý Pytago

c2 = a2 + b2

Trong đó:

  • c là độ dài cạnh huyền
  • a và b là độ dài hai cạnh góc vuông hay còn được gọi là cạnh kề.

Ví dụ: Xét tam giác ABC vuông tại A, góc A = 900, kẻ AH vuông góc với BC tại H

dinh-ly-py-ta-go

Ta có: ΔABH ∼ ΔCBA ( vì góc A1 = góc C và góc AHB = góc BAC = 900)

dinh-ly-py-ta-go-1

ΔACH ∼ ΔBCA ( vì góc A2 = góc B và góc AHC = BAC = 900)

dinh-ly-py-ta-go-2

Từ (1), (2) ta suy ra điều cần chứng minh: AB2 + AC2 = BC.BH + BC.CH = BC ( BH + CH) = BC2

Định lý Pitago đảo

Định nghĩa

Trong một tam giác, nếu bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông

 

Ví dụ: Tam giác ABC có:

BC2 = AB2 + AC2 ⇒ ABC = 900

Chứng minh định lý Pytago đảo

Gọi ABC là tam giác với các cạnh a, b, và c, với a2 + b2 = c2

Dựng một tam giác thứ hai có các cạnh bằng a và b và góc vuông tạo bởi giữa chúng.

Theo định lý Pytago thuận, cạnh huyền của tam giác vuông thứ hai này sẽ bằng c=√(a²+b²) và bằng với cạnh còn lại của tam giác thứ nhất.

Bởi vì cả hai tam giác có ba cạnh tương ứng cùng bằng chiều dài a, b và c, do vậy hai tam giác này phải bằng nhau. Do đó góc giữa các cạnh a và b ở tam giác đầu tiên phải là góc vuông.

Hệ quả

Một hệ quả của định lý Pytago đảo đó là cách xác định đơn giản một tam giác có là tam giác vuông hay không, hay nó là tam giác nhọn hoặc tam giác tù. Gọi c là cạnh dài nhất của tam giác và có a + b > c (nếu không sẽ không tồn tại tam giác vì đây chính là bất đẳng thức tam giác). Các phát biểu sau đây là đúng:

  • Nếu a2 + b2 = c2 thì tam giác là tam giác vuông.
  • Nếu a2 + b2 > c2 nó là tam giác nhọn.
  • Nếu a2 + b2 < c2 thì nó là tam giác tù.

Bài tập vận dụng định lý Pytago

Ví dụ 1: Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26cm và có độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài các cạnh góc vuông?

Lời giải

Gọi độ dài các cạnh góc vuông lần lượt là x, y (x, y > 0)

Theo định lí Py – ta – go ta có: x2 + y2 = 262 ⇔ x2 + y2 = 676

Theo bài ra ta có:

dinh-ly-py-ta-go-3

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 20cm. Kẻ AH vuông góc với BC. Biết BH = 9cm, HC = 16cm. Tính độ dài cạnh AB, AH ?

dinh-ly-py-ta-go-4

Lời giải

Ta có: BC = HB + HC = 9 + 16 = 25 (cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC2 = AB2 + AC2 ⇒ AB2 = BC2 – AC2 = 252 – 202 = 225 ⇒ AB = 15cm

Xét tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Py – ta – go ta có:

HB2 + HA2 = AB2 ⇒ AH2 = AB2 – HB2 = 152 – 92 = 144 ⇒ AH = 12cm

Vậy AH = 12cm, AB = 15cm

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH ⊥ BC tại H. Cho AB = 5 cm, BH = 3 cm. Chu vi tam giác ABC bằng bao nhiêu?

dinh-ly-py-ta-go-5

Tam giác ABC cân tại A nên AC = AB = 5cm

Tam giác ABH vuông tại H (AH ⊥ BC tại H)

Áp dụng định lý Pytago ta có:

AB2 = AH2 + BH2

⇒ AH2 = AB2 – BH2 = 52 – 32 = 16

⇒ AH = √16 = 4 cm

Tam giác ACH vuông tại H ( AH ⊥ BC tại H)

Áp dụng định lý Pytago ta có:

AC2 = AH2 + HC2

⇒ HC2 = AC2 – AH2 = 52 – 42 = 9

⇒ HC = √9 = 3 cm

Lại có BC = BH + HC = 3 + 3 = 6 cm

Chu vi tam giác ABC là

AB + BC + AC = 5 + 6 + 5 = 16 cm

Ví dụ 4: Tính chiều cao của bức tường, biết rằng chiều dài của thang là 4m và chân thang cách tường 1m

dinh-ly-py-ta-go-6

Vì mặt đất vuông góc với chân tường nên góc C = 90º.

Áp dụng định lí Pi-ta-go trong ΔABC ta có:

AC2 + BC2 = AB2

⇒ AC2 = AB2 – BC2 = 16 – 1 = 15

⇒ AC = √15 ≈ 3,87(m) hay chiều cao của bức tường là 3,87m.

Ví dụ 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm. Tính độ dài đường chéo AC của hình vuông.

dinh-ly-py-ta-go-7

ABCD là hình vuông

Tam giác ABC vuông tại B

Áp dụng định lý Pytago ta có:

AB2 + BC2 = AC2

⇒ AC2 = 4 + 4 = 32

Nên AC = √32 cm

Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp các bạn nhớ được định lý Pytago để áp dụng vào làm bài tập nhé