Công thức tính diện tích mặt cầu và bài tập có lời giải từ A – Z

Trong bài viết dưới đây, Samsung Contest sẽ chia sẻ công thức tính diện tích mặt cầu kèm theo các dạng bài tập có lời giải chi tiết giúp các bạn hệ thống lại kiến thức để vận dụng vào làm bài tập

Công thức tính diện tích mặt cầu

Diện tích mặt cầu bằng 4 lần tích giữa số pi và bình phương bán kính của mặt cầu đó.

S = 4.π.R2

Hoặc diện tích mặt cầu được tính bằng công thức tích của số pi và bình phương đường kính của mặt cầu đó

S = π.d2

Trong đó:

  • S là diện tích của mặt cầu
  • r là bán kính mặt cầu
  • d là bánh kính mặt cầu
  • π : Số pi (π = 3,14)

Tham khảo thêm:

Bài tập tính diện tích mặt cầu có lời giải

Ví dụ 1: Tính diện tích của mặt cầu có bán kính nối từ tâm O dài:

a) 8 m
b) 1,3 dm
c) 2 cm
d) 15 cm

Giải

Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu ta có:

a) Diện tích mặt cầu là:

4x 3,14 x 83 = 6430,72 (m2)

b) Diện tích của mặt cầu là:

4 x 3,14 x 1,33 = 27,59432 (dm2)

c) Diện tích của mặt cầu là:

4 x 3,14 x 23 = 100,48 (cm2)

d) Diện tích của mặt cầu là:

4 x 3,14 x 153 = 42390 (cm2)

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a√3. Góc SAB=SCB= 90 độ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a√2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.

Lời giải:

Gọi D là hình chiếu của S trên (ABC).

H là chân đường cao kẻ từ D của tam giác vuông SDC.

∡SAB = ∡SCB = 900

⇒∡DAB = ∡DCB = 900

⇒ ABCD là hình vuông.

Xét tam giác vuông SDC (vuông tại D) có :

DC = AB = a√3

DH = d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) = a√2

⇒ DS = a√6

⇒ SC = 3a

⇒ SB = 2a√3

Gọi O là trung điểm của SB, ta có OA = OB = OC = OS = a√3.

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là R = a√3

⇒ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là

S = 4πR2 = 12πa2.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu

dien-tich-mat-cau-1

Lời giải

Gọi M là trung điểm của tam giác SAB.

Tam giác SAB là tam giác vuông tại S có SM là đường trung tuyến nên ta có:

SM = MA = MB = ½AB

⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

* Kẻ Mt ⊥ (SAB), ta có: Mt// SC và Mt là trục đưởng tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

Trong mp(Mt, SC), đường trung trực của SC cắt Mt tại điểm I.

Ta có: IS = IC. (1)

Và IS = IB = IA (2).

Từ (1) và (2) suy ra: IA = IB= IC = IS

Do đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

dien-tich-mat-cau-2

Diện tích mặt cầu là:

S = 4πR2 = π(a2 + b2 + c2)

Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên Δ lấy điểm S sao cho OS = a/2 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu

dien-tich-mat-cau-3

dien-tich-mat-cau-4

Hy vọng với những kiến thức mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp các bạn nắm được công thức tính diện tích mặt cầu để áp dụng vào làm bài tập nhé