Cấp số cộng là gì? Công thức tính cấp số cộng và các dạng bài tập có lời giải từ A – Z

Hiện nay có rất nhiều các bạn học sinh còn chưa nắm được cấp số cộng là gì? tính chất cấp số cộngcông thức tính cấp số cộng như thế nào? Để các bạn hiểu rõ hơn chúng tôi sẽ chia sẻ lý thuyết về cấp số cộng chi tiết trong bài viết dưới đây

Cấp số cộng là gì?

Cấp số cộng là một dãy số hữu hạn hay vô hạn trong đó kể từ số hạng thứ 2 thì mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng trước và một số không đổi. Dãy {Un} là cấp số cộng khi và chỉ khi un = un-1 + d, ∀ n ≥ 2 và d không đổi

Tính chất của cấp số cộng

Nếu (Un) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kế bên nó trong dãy số, tức là:

cap-so-cong

Nếu như có 3 số bất kì m, n, q lập thành cấp số cộng thì 3 số đó luôn thỏa mãn m + q = 2n

Công thức tính cấp số cộng

Số hạng tổng quát

Nếu 1 cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bằng công thức:

u n = u 1 + (n – 1) d, (n ≥ 2)

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng

cap-so-cong-3

Tính tổng cấp số cộng

Giả sử (un) là một cấp số cộng, với mọi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó, (Sn = u1+u2+u3+…un). Khi đó ta có:

cap-so-cong-1

Kết hợp với công thức: un= u1 + (n-1)d, ta có:

cap-so-cong-2

Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian

Các dạng bài tập về cấp số cộng thường gặp

Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

Bước 1: Tìm công sai khi biết hai số hạng liên tiếp nhau theo công thức: d=un–un–1,∀n≥2.

Bước 2: Kết luận:

  • Nếu d là số không đổi thì dãy (un) là cấp số cộng.
  • Nếu d thay đổi theo n thì dãy (un) không là cấp số cộng

Ví dụ:

Dãy số 3; 6; 9; 12; 15 là một cấp số cộng vì:

  • 6=3+3
  • 9=6+3
  • 12=9+3
  • 15=12+3

Đây là CSC có công sai d=4 và số hạng đầu u1=3.

Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng

Sử dụng các tính chất của CSC ở trên, sau đó biến đổi để tính công sai d

Ví dụ 1: Cho 3 số lần lượt là 9; x; 13 hãy lập một cấp số cộng và tìm X

Ta có;

x= 9+132 = 11

Như vậy ra có x = 11 và cấp số cộng là 9, 11, 13

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (un) với u1 = 3, u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho.

Lời giải:

Áp dụng công thức un=u1+(n–1)d

=> U2 = u1 + d

<=> 9 = 3 + d

<=> d = 6.

Vậy công sai của CSC đã cho bằng 6

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát un=u1+(n–1)d

Ví dụ: Cho CSC (un) biết u1 = −1, d=3. Tìm u20.

Ta có:u20 = u1+(20−1)d = u1+19d = −1+19.3 = 56

Ví dụ 2: Cho CSN (un) với u1=−2; q = – 5. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un

Lời giải:

Từ công thức cấp số nhân:

u 2 = u 1 .q = (- 2). (- 5) = 10;

u 3 = u 2 .q = 10. (- 5) = – 50;

u 4 = u 3 .q = −50. (- 5) = 250.

Số hạng tổng quát un=u1.qn−1 = (−2).(−5)n−1.

Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên

Ta vận dụng công thức tính tổng cấp số cộng:

cap-so-cong-4

Ví dụ 1: Cho CSC(un) thỏa mãn u1=−1,d=3. Tính S20.

Ta có:

cap-so-cong-5

Ví dụ 2: Cho CSC (un) thỏa:

cap-so-cong-6

1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số.

2. Tính tổng cấp số cộng của 15 số hạng đầu.

3. Tính S=u4+u5+…+u30

Lời giải:

Từ giả thiết bài toán, ta có:

cap-so-cong-7

1. Số hạng thứ 100 của cấp số: u100 = u1+99d = 2 + 99.(3) = –295

cap-so-cong-8

Dạng 5: Tìm cấp số cộng

Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu u1, công sai d.
Tìm công thức cho số hạng tổng quát un=u1+(n–1)d.

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) với u1=−1; q=−110. Số 110103 là số hạng thứ mấy của (un) ?

Lời giải:
un=u1.qn−1⇒110103=−1.(−110)n−1⇒n−1=103⇒n=104

Ví dụ 2: Xác định a để 3 số : 1+3a;a2+5;1−a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

Lời giải

Ba số : 1+3a;a2+5;1−a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
a2+5−(1+3a)=1−a−(a2+5)⇔a2−3a+4=−a2−a−4⇔a2−a+4=0
PT vô nghiệm

Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp bạn ghi nhớ được cấp số cộng là gì? Tính chất và công thức tính cấp số cộng nhé.