Trung điểm là gì? 6 cách chứng minh trung điểm của đoạn thẳng từ A – Z

Hiện nay, có rất nhiều các bạn học sinh không nhớ được định nghĩa trung điểm là gì? Tính chất trung điểm và cách chứng minh trung điểm của đoạn thẳng như thế nào? Cho nên, trong bài viết dưới đây Samsung Contest sẽ chia sẻ định nghĩa và 6 cách chứng trung điểm chi tiết từ A – Z để các bạn cung tham khảo nhé

Trung điểm là gì?

Trung điểm là điểm nằm chính giữa đoạn thẳng, chia đoạn thẳng ra làm hai đoạn dài bằng nhau.

Ví dụ: Trung điểm C của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa A, B và cách đều A, B (CA = CB).

chung-minh-trung-diem

Tham khảo thêm:

Cách chứng minh trung điểm

1. Chứng minh trung điểm theo định nghĩa

Phương pháp: Để chứng minh điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta cần chứng minh đồng thời M nằm giữa A, B và MA + MB.

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB = 8cm có M là trung điểm AB. Trên AB lấy hai điểm C,D sao cho (AC = BD = 3cm). Chứng minh M là trung điểm CD.

chung-minh-trung-diem-1

Lời giải:

Theo đề bài ta có M là trung điểm AB

⇒ MA = MB = ½ AB = 8 : 2 = 4 cm

MC cùng phía với A mà AM > AC nên C nằm giữa AM

⇒ AC + CM = AM

⇒ CM = AM – AC = 4 – 3 = 1 cm (1)

Chứng minh tương tự ta có MD cũng bằng 1 cm (2)

Mà CD = AB – AC + BD = 2cm (3)

Từ (1) (2) (3) ta có:

  • MC = MD = 1
  • MC + MD = CD

⇒ M là trung điểm CD

2. Cách chứng minh trung điểm theo tính chất của tam giác

Phương pháp: Để chứng minh theo cách này thì trước hết chúng ta cần nắm vững các tính chất liên quan đến trung điểm trong tam giác.

chung-minh-trung-diem-3

Cho tam giác ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khi đó:

  • AM, BN, CP lần lượt được gọi là các đường trung tuyến của cạnh BC, CA, AB .
  • 3 đường trung tuyến đồng quy tại điểm G được gọi là trọng tâm của tam giác ABC.
  • 3 đoạn thẳng MN, NP, PM được gọi là các đường trung bình của tam giác ABC.

Tính chất trọng tâm: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì AG, BG, CG  lần lượt đi qua trung điểm của BC,CA, AB. Suy ra:

chung-minh-trung-diem-2

Đường trung bình tam giác: Nếu MN là đường trung bình của tam giác ABC thì MN song song và bằng 1/2 cạnh đáy tương ứng.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB > BC. BE là phân giác và BD là trung tuyến. Đường thẳng qua C vuông góc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G , K. DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm đoạn BC.

chung-minh-trung-diem-4

Lời giải

Xét Δ BCK có:

BF ⊥ CK (gt)

BE là phân giác góc B ⇒ BF cũng là phân giác góc B

⇒ BF vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác tam giác BCK ⇒ Δ BCK cân tại B

⇒ BC = BK

Với BF là đường trung tuyến

CF = FK

Xét ΔCKA có:

CF = FK (cmt)

CD = DA (đường trung bình ABC)

⇒ FD // BA MD // BA

Mà CD = DA nên chung-minh-trung-diem-5

⇒ M là trung điểm của BC

3. Chứng minh trung điểm theo tính chất tứ giác đặc biệt

Phương pháp: Để chứng minh trung điểm trong tứ giác ta phải nắm được một số tính chất trung điểm của các tứ giác đặc biệt:

  • Đường trung bình trong hình thang thì song song hai đáy và dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy.
  • Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lưu ý: Đối với các hình như hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi là các trường hợp đặc biệt của hình bình hành nên cũng có tính chất tương tự như hình bình hành.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của AC, BD. Lấy M là điểm bất kì nằm trên CD. MI cắt AB tại N. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN.

chung-minh-trung-diem-6

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành mà I là giao điểm của hai đường chéo nên ta có: DI = MI

Xét ΔDIM và ΔBIN có:

chung-minh-trung-diem-7

DI = BI ( chứng minh trên )

chung-minh-trung-diem-8

⇒ ΔDIM = ΔBIN (g.c.g)

Vậy IN = IM hay I là trung điểm của MN

4. Chứng minh trung điểm theo tính chất của đường tròn

Phương pháp: Để chứng minh trung điểm ta dựa vào quan hệ giữa đường kính và dây cung trong đường tròn.

chung-minh-trung-diem-9

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. MN là một dây cung bất kì của đường tròn. Khi đó, nếu AB cắt MN, AB đi qua trung điểm của MN và ngược lại, nếu AB đi qua trung điểm của MN thì AB cắt MN.

Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC và nội tiếp đường tròn O. Tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại M. Kẻ cát tuyến MPQ của (O). P nằm giữa M và Q song song với BC cắt AC tại E. Chứng minh rằng E là trung điểm PQ

chung-minh-trung-diem-10

Lời giải

Vì MA, MB là các tiếp tuyến kẻ từ M của đường tròn (O) ⇒ MA = MB

Xét ΔMAO và ΔMBO có

MA = MB (chứng minh trên)

MO là cạnh chung

OA =OB (bán kính (O))

⇒ ΔMAO = ΔMBO (c.c.c)

chung-minh-trung-diem-11

chung-minh-trung-diem-12

⇒ EO vuông góc với dây cung PQ

⇒ E là trung điểm PQ

5. Cách chứng minh trung điểm theo tính chất đối xứng trục

Phương pháp: Hai điểm A,B đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của AB. Khi đó AB cắt d và d đi qua trung điểm của AB.

chung-minh-trung-diem-13

6. Chứng minh trung điểm theo tính chất đối xứng tâm

Phương pháp: Hai điểm A, B đối xứng với nhau qua điểm O nếu như O là trung điểm của AB.

chung-minh-trung-diem-14

Hy vọng với những kiến thức định nghĩa về trung điểm là gì và cách chứng minh trung điểm có thể giúp bạn áp dụng vào làm bài tập đơn giản hơn nhé